2016年3月18日 星期五

一次函数的定义与定义式 

一次函数的定义与定义式 
自变量x和因变量y有如下关系: 
y=kx (k为任意不为零实数) 或y=kx+b (k为任意不为零实数,b为任意实数)  则此时称y是x的一次函数。  特别的,当b=0时,y是x的正比例函数。正比例是Y=kx+b。  即:y=kx (k为任意不为零实数) 
定义域: 自变量的取值范围,自变量的取值应使函数有意义;要与实际相符合 一次函数的性质 
1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k  即:y=kx+b(k≠0) (k为任意不为零的实数 b取任何实数) 
2.当x=0时,b为函数在y轴上的截距。 
3.k为一次函数y=kx+b的斜率,k=tg角1(角1为一次函数图象与x轴正方向夹角) 形。取。象。交。减 
4.正比例函数也是一次函数. 
5.当k相同,图像平行;当k不同,图像相交
一次函数的图像及性质 
1.作法与图形:通过如下3个步骤 
(1)列表[一般取两个点,根据两点确定一条直线]; 
(2)描点;
(3)连线,可以作出一次函数的图像——一条直线。因此,作一次函数的图像只需知道2点,并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点) 
2.性质: (1)在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式:y=kx+b(k≠0)。 (2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与x轴总是交于(-b/k,0)正比例函数的图像都是过原点。 
3.函数不是数,它是指某一变量过程中两个变量之间的关系。 
4.k,b与函数图像所在象限: 
y=kx时(即b等于0,y与x成正比) 
当k>0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大; 
当k<0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小。 
y=kx+b时: 
当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过一,二,三象限。 
当 k>0,b<0, 这时此函数的图象经过一,三,四象限。 
当 k<0,b>0, 这时此函数的图象经过一,二,四象限。 
当 k<0,b<0, 这时此函数的图象经过二,三,四象限。 
当b>0时,直线必通过一、二象限; 
当b<0时,直线必通过三、四象限。 
特别地,当b=0时,直线通过原点O(0,0)表示的是正比例函数的图像。 
这时,当k>0时,直线只通过一、三象限;当k<0时,直线只通过二、四象限。 
4、特殊位置关系 
当平面直角坐标系中两直线平行时,其函数解析式中K值(即一次项系数)相等 
当平面直角坐标系中两直线垂直时,其函数解析式中K值互为负倒数(即两个K值的乘积为-1)
确定一次函数的表达式 
已知点A(x1,y1);B(x2,y2),请确定过点A、B的一次函数的表达式。 
(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。 
(2)因为在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程:y1=kx1+b …… ① 和 y2=kx2+b …… ② 
(3)解这个二元一次方程,得到k,b的值。 
(4)最后得到一次函数的表达式。


消元法解二元一次方程组

消元法解二元一次方程组
  
  一、概念步骤与方法
  1.由二元一次方程组中一个方程,将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来,再代入另一方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法,简称代入法.
  2.用代入消元法解二元一次方程组的步骤:
  (1)从方程组中选取一个系数比较简单的方程,把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来.
  (2)把(1)中所得的方程代入另一个方程,消去一个未知数.
  (3)解所得到的一元一次方程,求得一个未知数的值.
  (4)把所求得的一个未知数的值代入(1)中求得的方程,求出另一个未知数的值,从而确定方程组的解.
  注意:⑴运用代入法时,将一个方程变形后,必须代入另一个方程,否则就会得出“0=0”的形式,求不出未知数的值.
  ⑵当方程组中有一个方程的一个未知数的系数是1或-1时,用代入法较简便.
  3.两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时,将两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程,这种方法叫做加减消元法,简称加减法。
  用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”.
  4.用加减法解二元一次方程组的一般步骤:
  第一步:在所解的方程组中的两个方程,如果某个未知数的系数互为相反数,可以把这两个方程的两边分别相加,消去这个未知数;如果未知数的系数相等,可以直接把两个方程的两边相减,消去这个未知数.
  第二步:如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等,那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数),求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍,该系数即为最小公倍数),然后将原方程组变形,使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数),再加减消元.
  第三步:对于较复杂的二元一次方程组,应先化简(去分母,去括号,合并同类项等),通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边,常数项在方程的右边的形式,再作如上加减消元的考虑.
  注意:⑴当两个方程中同一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时,用加减法较简便.
  ⑵如果所给(列)方程组较复杂,不易观察,就先变形(去分母、去括号、移项、合并等),再判断用哪种方法消元好.
  5.列方程组解简单的实际问题.解实际问题的关键在于理解题意,找出数量之间的相等关系,这里的相等关系应是两个或三个,正确的列出一个(或几个)方程,再组成方程组.


2016年3月4日 星期五

勾股定理


英语:Pythagorean theorem)又称商高定理畢達哥拉斯定理毕氏定理百牛定理,是平面几何中一个基本而重要的定理。勾股定理说明,平面上的直角三角形的两条直角边的长度(古称勾长、股长)的平方和等于斜边长(古称弦长)的平方。反之,若平面上三角形中两边长的平方和等于第三边边长的平方,则它是直角三角形(直角所对的边是第三边)。
勾股定理 是人类早期发现并证明的重要数学定理之一。
据《周髀算經》中记述,公元前一千多年周公商高论数的对话中,商高就以三四五3个特定数为例详细解释了勾股定理要素,其一,“以为句广三,股修四,径隅五”。其二,“既方其外,半之一矩,环而共盘,得成三四五。两矩共长二十有五,是谓积矩。”首先肯定一个底宽为三,高为四的直角三角形,弦长必定是五。最重要的是紧接着论证了弦长平方必定是两直角边的平方和,确立了直角三角形两条直角边的平方和等于斜边平方的判定原则。其判定方法后世不明其法而被忽略。[1]
此外,《周髀算经》中明确记载了周公后人陈子叙述的勾股定理公式:“若求邪至日者,以日下为勾,日高为股,勾股各自乘,并而开方除之,得邪至日”。
赵爽在《周髀算經注》中将勾股定理表述为“勾股各自乘,并之,为弦实。开方除之,即弦。”。
古埃及公元前2600年的纸莎草就有(3,4,5)这一组勾股数,而古巴比伦泥板涉及的最大的一个勾股数组是(18541,12709,13500)。
古希腊发现勾股定理的是毕达哥拉斯,所以勾股定理又称畢達哥拉斯定理。據說畢達哥拉斯證明了這個定理後,即斬了百頭作慶祝(百牛大祭),因此又稱百牛定理。但这个说法显然是以讹传讹,众所周知毕达哥拉斯主义者在古代以素食闻名。[2]
有些參考資料提到法国和比利時將勾股定理称为驴桥定理,但驴桥定理就是等邊對等角,是指等腰三角形的二底角相等,非勾股定理

定理

在平面上的一個直角三角形中,两个直角边边长的平方加起来等于斜邊长的平方。如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b,斜边长度是c,那么可以用数学语言表达:
a^2+b^2=c^2
勾股定理是餘弦定理中的一個特例[4]。勾股定理現約有400種證明方法,是數學定理中證明方法最多的定理之一[5]

其他形式[编辑]

如果c是斜邊的長度而a和b是另外兩條邊的長度,勾股定理可以寫成:
a^2 + b^2 = c^2\,
如果a和b知道,c可以這樣寫:
 c = \sqrt{a^2 + b^2}. \,
如果斜邊的長度c和其中一條邊(a或b)知道,那另一邊的長度可以這樣計算:
a = \sqrt{c^2 - b^2}. \,
b = \sqrt{c^2 - a^2}. \,

勾股數组[编辑]

勾股数组是滿足勾股定理a^2 + b^2 = c^2正整數(a,b,c),其中的a,b,c称为勾股数。例如(3,4,5)就是一組勾股數組。
任意一组勾股数(a,b,c)可以表示为如下形式:a=k(m^2-n^2), b=2kmn, c=k(m^2+n^2),其中k, m,n\in \mathbb{N*},m>n